Question

帮忙求解一下矩阵的问题

设a=(1,0,-1)^T,A=aa^T,n为正整数，I为单位矩阵，则|I-A^n|=? 谢谢了，因为是自学的，希望把解的过程说的详细一些。

Answer 1

a=(1,0,-1)^T
a^T=(1,0,-1)
a^Ta=(1,0,-1)(1,0,-1)^T=2
A=aa^T=
1 0 -1;
0 0 0;
-1 0 1;
A^n=(aa^T)^n=aa^Taa^T....aa^Taa^T(n个相乘)=a（a^Ta）（a^Ta）...（a^Ta）a^T
=2^(n-1)aa^T=2^(n-1)A=
2^(n-1) 0 -2^(n-1)
0 0 0
-2^(n-1) 0 2^(n-1)
|I-A^n|=
1-2^(n-1) 0 2^(n-1)
0 1 0
2^(n-1) 0 1-2^(n-1)的行列式
= （1-2^(n-1))^2-(2^(n-1))^2
=1-2^n
行列式不好输入。