Question

在三角形ABC中,三边长a、b、c,满足a+c=3b,则tanA/2tanC/2的值为

Answer 1

解：由正弦定理知：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2Ra=sinA·2R b=sinB·2R c=sinC·2R而a+c=3b
即sinA·2R+sinC·2R=3sinB·2R∴sinA+sinC=√2sinB
∵π-B=A+c∴sinB=sin(π-B)=sin(A+C)
根据和差化积公式：sinA+sinC=2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)
倍角公式：sin(A+C)=2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
则2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)=2x3sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
即cos(A/2-C/2)=3cos(A/2+C/2)
cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)=3[cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)]
两边同时除以cos(A/2)cos(C/2)，得：1+tan(A/2)tan(C/2)=3[1-tan(A/2)tan(C/2)]
最后结果是1/2