Question

在三角形ABC中,三边长a、b、c,满足a+c=3b,则tanA/2tanC/2的值为

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Answer 1

原题是:在三角形ABC中,三边长a、b、c,满足a+c=3b,则(tanA/2)(tanC/2)的值为____.

解:设α=A/2, β=C/2 则α,β都是锐角,sin(α+β)>0
由a+c=3b 和正弦定理得
sinA+sinC=3sinB
sin2α+sin2β=3sin(π-2α-2β)=3sin(2α+2β)
即sin2α+sin2β=3sin(2α+2β)

sin[(α+β)+(α-β)]+sin[(α+β)+(α-β)]=3sin(2α+2β)
2sin(α+β)cos(α-β)=6sin(α+β)cos(α+β)
cos(α-β)=3cos(α+β)
cosαcosβ+sinαsinβ=3(cosαcosβ-sinαsinβ)
4sinαsinβ=2cosαcosβ
tanαtanβ=1/2

所以 (tanA/2)(tanC/2)=1/2

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