Question

已知函数f(x)=log1/2 (-x^2+2x) 求f(x)的值域 求f(x)的单调性

Answer 1

先求定义域。-x²+2x>0，x²-2x<0，解得 0<x<2
令t=-x²+2x，y=log½(t)，则 y是t的减函数。根据复合函数单调性“同增异减”的原则，
当t是增函数时，f(x)是减函数，当t是减函数时，f(x)是增函数。
由于 t=-x²+2x，对称轴为x=1，
t 在区间(0，1]增，所以 f(x)在（0，1]减；
t 在区间[1，2)减，所以 f(x)在[1，2)增。
又当x=1时，t有最大值为 t=1，即
0<-x²+2x≤1
从而 f(x)=log½(-x²+2x)≥0，即值域为[0，∞）

追问

我算的是 x=1时，t有最小值t= -1 ？？

追答

t=-x²+2x，是开口向下的抛物线，对称轴是x=1，当x=1时，t=-1²+2=1，是最大值

Answer 2

-x^2+2x>0解得0<x<2,则 0<-x^2+2x<=1,所以f(x)的值域 0<y
f(x)在0<x<1单调递减，在1<=x<2单调递增

Answer 3

先求函数定义域，再根据定义域求真数部分取值范围，进而根据对数函数单调性求整个值域