Question

已知函数y=log1/2 (-x²+2x+3) 求f(x)的值域 求f(x)的单调减区间 要详细解题

已知函数y=log1/2 (-x²+2x+3)
求f(x)的值域
求f(x)的单调减区间 要详细解题

Answer 1

已知函数y=log1/2 (-x²+2x+3)
-x²+2x+3＞0;
=-(x²-2x+1)+4
=-(x-1)²+4;
∴0＜-(x-1)²+4≤4;
∵y=log(1/2)x是递减函数
∴等于4时；最小值=log(1/2)4=-2;
所以值域为[-2,+∞)

求f(x)的单调减区间

对称轴为x=1；
-(x-1)²+4＞0;
(x-1)²＜4;
-2＜x-1＜2;
-1＜x＜3;
定义域为(-1,3);
∵a=-1＜0;对称轴x=1；
log(1/2)x单调递减
∴单调递增区间为[1,3)
单调递减区间为(-1,1]

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追问

第二题你会不会算错了 我的练习册的答案的递增区间是（-1，1]
减区间是[1,3）

追答

没有写错；
y=log(1/2)x是递减函数；
所以要求的就是-(x-1)²+4的递增区间

所以是(-1,1]

追问

a=-1＜0 的-1是拿来的？

追答

-x²+2x+3；
=-(x²-2x+1)+4
=-(x-1)²+4;
抛物线二次项系数a=-1＜0；所以开口向下

Answer 2

y=log1/2 (-x²+2x+3)
g(x)=-x²+2x+3
=-(x-1)²+4
<=4
y=log1/2 (-x²+2x+3)
>=log1/2 4
=log1/2 (1/2)^(-2)
=-2
值域：[-2,+∞)
当x<1时，g(x)为增函数，y=log1/2 (-x²+2x+3)随g(x)的增加而减小，随x的增加而减小，y是减函数。
当x>1时，f(x)为减函数，y=log1/2 (-x²+2x+3)随g(x)的增加而减小，随x的增加而增加，y是增函数。
因此，y的单调递减区间：(-∞,1)

Answer 3

解答：

定义域 -x²+2x+3>0
即 x²-2x-3<0
∴ (x-3)(x+1)<0
∴ -1<x<3
（1）t=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
∵ -1<x<3
∴ t∈(0,4]
∴ log(1/2) t∈【-2，+∞）
即值域是[-2,+∞）
（2）
t=-x²+2x+3=-(x-1)²+4图像开口向下
在(-1,1】上递增，在[1,3)上递减
y=log(1/2)t在定义内是减函数
利用“同增异减”原则
减区间是(-1,1】

追问

第2题算错了...

追答

嗯，已经有个把你当祖宗的人提醒了。