Question

高中数学导数.切线和极值的问题

1.若f(x)=1/3x³-1/2ax²+(a-1)x+1在(1,4)内为减函数，在(6.+∞)上为增函数，求a的取值范围。
2.曲线y=xe*+2x+1在点(0,1)处的切线方程为_____.(*为小x. 即e的x次方)
3.已知曲线y=x²/4 - 3lnx的一条切线的斜率为1/2，则切点的横坐标为_____.
4.设点P(x,y)是y=x³-x+2/3上一点，则在P点处的斜率取值范围是______.
5.在曲线y=x³+3x²+6x-10的切线中，则斜率最小的切线方程是________.
6.已知函数f(x)=x³-12x+8在区间[-3,3]上的最大值为M,则M=______.
7.f(x)=-x的4次方+2x²+3在（-∞，2）的值域是______.
8.若函数f(x)=x²+a/x在x=1处取极值，则a=______.

Answer 1

1.若f(x)=(1/3)x³-(1/2)ax²+(a-1)x+1在(1,4)内为减函数，在(6.+∞)上为增函数，求a的取值范围。
解：f′(x)=x²-ax+a-1=(x-a/2)²-a²/4+a-1
一阶导函数是个二次函数，为使f(x)在(1,4)内为减函数，在(6.+∞)上为增函数,由于
f′(1)=1-a+a-1≡0，故应使f′(4)=16-4a+a-1=-3a+15<0，即应使a>5..........(1)
f′(6)=36-6a+a-1=-5a+35≧0，即应使a≦7.........(2)
(1)∩(2)={a︱5<a≦7}
2.曲线y=xe^x+2x+1在点(0,1)处的切线方程为_____.
解：y′=e^x+xe^x+2=(1+x)e^x+2，y′(0)=3
故在点(0，1)处的切线方程为y=3x+1
3.已知曲线y=x²/4 - 3lnx的一条切线的斜率为1/2，则切点的横坐标为_____.
解：令y′=x/2-3/x=1/2，即得x²-x-6=(x-3)(x+2)=0，故得x₁=3；x₂=-2；即此两处的切线的斜
率=1/2。
4.设点P(x,y)是y=x³-x+2/3上一点，则在P点处的斜率取值范围是______.
解：y′=3x²-1≧-1，即在p(x，y)处的斜率的取值范围为[-1，+∞)
5.在曲线y=x³+3x²+6x-10的切线中，则斜率最小的切线方程是________.
解：y′=3x²+6x+6=3(x²+2x)+6=3[(x+1)²-1]+6=3(x+1)²+3≧3
即在x=-1，y=-1+3-6-10=-14处的切线阿斗斜率最小，kmin=3，故其方程为y=3(x+1)-14=3x-11
6.已知函数f(x)=x³-12x+8在区间[-3,3]上的最大值为M,则M=______.
解：令f′(x)=3x²-12=0，得x²=4，x=±2，x=-2为极小点，x=2为极大点，故M=f(2)=8-24+8=-8
7.f(x)=-x⁴+2x²+3在（-∞，2）的值域是______.
解：f(x)=-(x⁴-2x²)+3=-[(x²-1)²-1]+3=-(x²-1)²+4≦4，故值域为(-∞，4]。
8.若函数f(x)=x²+a/x在x=1处取极值，则a=______.
解：f′(x)=2x-a/x²，f′(1)=2-a=0，故a=2.

Answer 2

假期作业必须自己做 小心让老师知道