Question

一道难题：

二次函数f（x）=ax^2+bx+c(a,b属于R,a不等于0）满足条件：
1). 当x属于R时，f（x）的图像关于直线X=-1对称；
2).f（1）=1;
3).f（x）在R上的最小值是0;
问：（1）求f（x）的解析式
（2）求最大的m（m>1），使得存在t属于R，只要x属于【1，m】，就有f(x+t)<=x

Answer 1

f(x)有最小值，则a>0。关于x＝－1对称，则对称轴－b/2a＝－1；1＝f(1)=a+b+c；最小值为(4ac－b^2)/(4a)=0，由此知b＝2a，c＝1－a－b＝1－3a，再由b^2=4ac知a＝1/4，因此b＝1/2，c＝1/4，f(x)=1/4(x^2+2x+1)=(x+1)^2/4。
f(x+t)是一个抛物线，y＝x是一条直线，画出图像可知只要f(1+t)<=1，f(m+t)<=m，则抛物线就在直线的下方，即不等式f(x+t)<=x，当x位于[1 m]时，因此问题就是求m的最大值，使得关于t的不等式组f(1+t)=(2+t)^2/4<=1 f(m+t)=(m+t+1)^2/4<=m有解。由第一个不等式可知－4<=t<=0。容易从图像看出，t越小，意味着抛物线往右平移，抛物线与y＝x的最大交点越大，也就是m越大，因此t＝－4时m最大，此时抛物线与y＝x的交点是(1 1)和（9 9），因此m的最大值为m＝9