Question

设函数f(x)=ax^2+b㏑x,其中ab≠0

设函数f(x)=ax^2+b㏑x,其中ab≠0
证明：当ab>0时，函数f(x)没有极大值；当ab<0时，函数f(x)有且仅有一个极值点，并求出极值

Answer 1

f(x)=ax^2+blnx(x>0)，f'(x)=2ax+b/x=(2ax^2+b)/x。
若ab>0，则a、b同号，则ax^2+b>0或ax^2+b<0对于x>0时恒成立，即f(x)单调，无极值。
若ab<0，则a、b异号。
1)若a>0、b<0，则令ax^2+b>0，则在f(x)的定义域内有x>√(-b/a)。
此时，f(x)只有一个极小值点x=√(-b/a)，极小值(也是最小值)f[√(-b/a)]=-b=(1/2)bln(-b/a)。
2)若a<0、b>0，则令ax^2+b>0，则在f(x)的定义域内有x<√(-b/a)。
此时，f(x)只有一个极大值点x=√(-b/a)，极大值(也是最大值)f[√(-b/a)]=-b=(1/2)bln(-b/a)。

Answer 2

f'(x)=2ax＋(b/x)=[2ax²＋b]/(x)，定义域是x∈(0，＋∞)
1、若ab>0，则2ax²＋b在x>0时恒大于0，则此时f(x)没有极值；
2、若ab<0，则方程2ax²＋b=0有两异号的根，考虑到此函数定义域是x>0，则此时函数f(x)在定义域内有唯一的极值点，这个极值点是x=√[－(b/2a)，此时极值是f(√(－b/2a)=b²/(4a)＋bln[√(－b/2a)]

Answer 3

这个是2007年山东的高考题

（2007•山东）设函数f（x）=ax2+blnx，其中ab≠0．
证明：当ab＞0时，函数f（x）没有极值点；当ab＜0时，函数f（x）有且只有一个极值点，并求出极值．
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：证明题；分类讨论．
分析：因为函数有没有极值点是由导函数等于0有没有根决定的，故转化为证ab＞0时导函数等于0没有根；ab＜0时，导函数有且只有一个根，且在根的两侧导函数不同号即可．
解答：证明：因为f（x）=ax2+blnx，ab≠0，所以f（x）的定义域为（0，+∞）．f'（x）=2ax+bx=2ax2+bx．
当ab＞0时，如果a＞0，b＞0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
如果a＜0，b＜0，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
所以当ab＞0，函数f（x）没有极值点．
当ab＜0时，f′(x)=2a(x+-b2a)(x--b2a)x
令f'（x）=0，
得x1=--b2a∉(0，+∞)（舍去），x2=-b2a∈(0，+∞)，
当a＞0，b＜0时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
从上表可看出，
函数f（x）有且只有一个极小值点，极小值为f(-b2a)=-b2[1-ln(-b2a)]．
当a＜0，b＞0时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
从上表可看出，
函数f（x）有且只有一个极大值点，极大值为f(-b2a)=-b2[1-ln(-b2a)]．
综上所述，
当ab＞0时，函数f（x）没有极值点；
当ab＜0时，
若a＞0，b＜0时，函数f（x）有且只有一个极小值点，极小值为-b2[1-ln(-b2a)]．
若a＜0，b＞0时，函数f（x）有且只有一个极大值点，极大值为-b2[1-ln(-b2a)]．