Question

设函数f（x）＝lg（x＋根号x的平方十1。求（1）确定函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性...

设函数f（x）＝lg（x＋根号x的平方十1。求（1）确定函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数。

Answer 1

f(x)=lg[x+√（x^2+1)]

解：
1.函数f(x)=lg[x+√（x^2+1)]有意义
只需x+√(x^2+1）>0
因为x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]
又x^2+1>x^2恒成立
故√(x^2+1）>x
从而√(x^2+1）-x>0
故x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]>0恒成立
故f(x)的定义域为R.

2.f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
f(-x)=lg[-x+√((-x)^2+1)]=lg[-x+√(x^2+1)]
f(x)+f(-x)=lg{[x+√(x^2+1)][-x+√(x^2+1)]}=lg[(x^2+1)-x^2]=lg1=0
所以f(-x)=-f(x)
且f(x)的定义域是R
所以f(x)是奇函数

3.设x1<x2
g(x1)-g(x2)
=[x1+√(x1^2+1)]-[x2+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]+(x1+x2)}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
因为√(x1^2+1)>√x1^2=|x1|≥-x1，所以√(x1^2+1)+x1>0
同理，√(x2^2+1)+x2>0
所以[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]>0
又x1-x2<0，√(x1^2+1)+√(x2^2+1)>0
所以g(x1)-g(x2)<0
g(x1)<g(x2)，所以g(x)在定义域内是增函数
又h(x)=lgx也是增函数
所以复合函数f(x)=h[g(x)]也是增函数
即f(x)=lg[x+√（x^2+1)]为增函数.

Answer 2

(1)x为R
（2）奇函数
（3）x1>x2>0 或x1<x2<0 f（x1）-f（x2）>0 f（x1）-f（x2）<0定义域上是单调增函数

Answer 3

(1)x不等于0
（2）奇函数
（3）x1>x2>0 或x1<x2<0 f（x1）-f（x2）>0 f（x1）-f（x2）<0定义域上是单调增函数

Answer 4

R，奇

Answer 5

函数是lg(x+（根号x的平方＋1))
还是lg（x＋根号x的平方十1）