Question

求解决初三的一道数学题

如图，AB为圆O的直径，点D是圆上的一点，点C是弧BD的中点，且DE垂直于AB于E，交弦AC于F，分别延长线段ED和AB，与过点C的圆O的切线教育点H、G
（1）找出图中与线段CH相等的线段，并证明；
（2）证明：AD·HE=HG·AE；
（3）若BG=2，CG=2根号3，求HD的长.

Answer 1

（1）结论:CH=HF.(设圆心为O)连接CO则有CO⊥CG.∴∠HCA+∠ACO=90°∵HE⊥AG∴∠AFE+∠CAG=90°又∵圆O中AO等于CO∴∠CAG=∠ACO.∴∠HCA=∠AFE.又∠AFE=∠HFC∴∠HCA=∠HFC.∴HC=HE~
(2)证明△ADE∽△HGE即可.过程:∵弧DC=弧BC∴∠CAD=∠CAG.∠DAG=2∠CAG.∵弧BC=弧BC∴∠COB=2∠CAG,∠COB=∠DAG.∵∠H+∠G=90°,∠COB+∠G=90°∴∠H=∠COB.∴∠H=DAG.然后再加上直角相等就OK了~
（3）解：设圆O半径为r.则在RT△COG中有(r+2)²=r²+(2根号3)²解得r=2.∴∠G=30°(此后在许多△中都会用到特殊锐角三角函数,那些30°60°怎么得来就不解释了).由此可得以下结论:1.△HFC是等边△.2.CA=CG=2根3. 3.AF=DF.如果再连接DC则DC为等边△高线.现在设DH为x.则DF=AF=X.CF=2x.∴x+2x=2根3.解得x=三分之2倍根3

Answer 2

（1）HF=HC。理由如下：
连结C及圆心，
则∠心CA=∠心AC，∠HFC=∠AFE。
∵∠HCA+∠心CA=90，∠AFE+∠CA心=90，
∴∠HCA=∠AFE=∠HFC，
因此 HF=HC。
（2）由（1）及“点C是弧BD的中点”可知，∠G=∠ADE，∴△ADE相似于△GHE，
∴AD：GH=AE：HE
即 AD·HE=HG·AE
(3)有已知得到圆半径为2，且∠G=30°，∴D、C是弧AB的2个三等分点。∴D是HF的中点，设DH=X，则有AC=2根号3=FC+AF=2x+x=3x
故，x=（2根号3）/3