Question

当微分方程特征根是一共额复数时 为什么最后的解还是写成了实数

Answer 1

这问题好多同学感到困惑，复数解为何变成实数解。复指数解为 y(t)＝Ae^(jωt)＋Be^(-jωt)，转为三角函数解 y(t)＝(A＋B)Cosωt＋j(A-B)Sⅰnωt ①，将( j )去掉成为 y(t)＝(A＋B)Cosωt＋(A-B)Sinωt ②。现将①和②代入原方程发现，①②均满足原微分方程，使得方程 左边＝右边，所以从逻辑真理方面考虑，①②函数解均正确。从线性代数方面看，复函数解①: 实数单位1与虚数单位i构成了二个线性无关的基；实函数解②: cos与sⅰn构成了二个线性无关的基。从电路实践方面看，函数解②可变换为 y(t)＝A·Sin(ωt＋φ)，正弦实函数与实践相吻合，正弦实函数方便于实验测量。因此对于此类微分方程，通常取实数形式的正弦解，或取 (k₁Cosωt＋k₂Sinωt) 实数形式的函数解，(余弦＋正弦) 仍为正弦。

Answer 2

注意这是特征根方程得出来
特征根就是说明微分方程的特征
而不直接就是解
如果得到的特征根为实数
那么说明解用e^kx来表示
而如果特征根里的虚数
就用sinkx和coskx表示