Question

已知函数f(x)=(根号a^2-2x^2)-x-a没有零点（a≠0），则实数a的取值范围是？

Answer 1

解：考虑其否命题。设函数f(x)=√(a^2-2x^2)-x-a有零点，则方程f(x)=√(a^2-2x^2)-x-a=0有实数解。
也即√(a^2-2x^2)=x+a有实数解，也即
a^2-2x^2=(x+a)^2有实数解且x+a≥0
也即a^2-2x^2=x^2+2ax+a^2
3x^2+2ax=0
得x=0≥-a①或x=-2a/3≥-a②
由①得a≥0；由②得a≥0
考虑到题中给定a≠0，故若函数f(x)=√(a^2-2x^2)-x-a有零点，则必须a>0。而只要a>0，则函数方程f(x)=0必有根x=0及根x=-2a/3。也即，函数f(x)=√(a^2-2x^2)-x-a （a≠0）有零点的充要条件是，a>0。
因此，要使函数f(x)=√(a^2-2x^2)-x-a （a≠0）没有零点，必须a<0。