Question

(a²+b²)×(c²+d²)≥(ac+bd)²。方和积≥积和方【解高考不等式最后一题第③

(a²+b²)×(c²+d²)≥(ac+bd)²。方和积≥积和方【解高考不等式最后一题第③问的一种公式】这是什么定理，名称是什么。

Answer 1

方和积≥积和方 是
柯西不等式 (a1²+a2²+..+an²)(b1²+b2²+..+bn²)x²≥（a1b1+a2b2+...+anbn）²
证明方法是构造一个二阶方程 (a1²+a2²+..+an²)x²-2（a1b1+a2b2+...+anbn）x+(b1²+b2²+..+bn²)=0
因为方程可以改写为 (a1x-b1)²+(a2x-b2)²+...+(anx-bn)²=0
所以原方程要么无解有唯一解，所以其判别式
△=【2（a1b1+a2b2+...+anbn）】²-4(a1²+a2²+..+an²)(b1²+b2²+..+bn²)≤0
所以 (a1²+a2²+..+an²)(b1²+b2²+..+bn²)x²≥（a1b1+a2b2+...+anbn）²
等号成立时为方程有唯一解x=b1/a1=b2/a2=...=bn/an
即两数列成比例关系。