Question

如图已知△ABC中,AD⊥BC,AB+C=AC+AD,求证:AB=AC

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如图已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+AD,求证:AB=AC

Answer 1

利用反证法证明如下：
一、假设AB＞AC。
　　∵AD⊥BC，∴BD、CD分别是AB、AC在BC上的射影。
　　而斜线较长时，其射影也较长，∴BD＞CD。
　　由AB＞AC、BD＞CD，得：AB＋BD＞AC＋CD。这与给定的条件AB＋BD＝AC＋CD矛盾，
　　∴作出AB＞AC的假设是错误的。
二、假设AC＞AB。
　　∵AD⊥BC，∴BD、CD分别是AB、AC在BC上的射影。
　　而斜线较长时，其射影也较长，∴CD＞BD。
　　由AC＞AB、CD＞BD，得：AC＋CD＞AB＋BD。这与给定的条件AB＋BD＝AC＋CD矛盾，
　　∴作出AC＞AB的假设是错误的。
综上所述，得：AB＝AC。

追问

不对呀，要用勾股定理呀

追答

上面的方法就是依据勾股定理来的。　下面用勾股定理的方法给出证明：
∵AD⊥BC，∴由勾股定理，有：AB^2＝BD^2＋AD^2、AC^2＝CD^2＋AD^2。
上述两式相减，得：AB^2－AC^2＝BD^2－CD^2，
∴（AB＋AC）（AB－AC）＝（BD＋CD）（BD－CD）。
而AB＋BD＝AC＋CD，∴BD－CD＝AC－AB，
∴（AB＋AC）（AB－AC）＝（BD＋CD）（AC－AB），
∴（AB－AC）（AB＋AC＋BD＋CD）＝0。
在△ABC中，显然有：AB＋AC＋BD＋CD＞0，∴AB－AC＝0，∴AB＝AC。

Answer 2

AB+C=AC+AD？题目有误

追问

ab+cd

Answer 3

题目可能错了，AB+C是什么意思

追问

为什么AB²-BD²=AC²-CD²

追答

因为AD⊥BC，所以利用勾股定理得，AB²=AD²+BD²,同理得AC²=AD²+CD²,所以两式相减得AB²-BD²=AC²-CD²，又因为AB+CD=AC+AD，所以（AB+CD)²=(AC+AD)²,展开得AB²+CD²+2AB.CD=AC²+AD²+2AC.CD,所以将AB²-BD²=AC²-CD²带入得：2AB.CD=2AC.CD,所以AB=AC