Question

如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a

求：（1）∠ABC的度数（2）对角线AC的长（3）菱形ABCD的面积

Answer 1

E是AB的中点，且DE⊥AB
即DE是三角形DAB的高和中线
∴三角形DAB是等腰三角形
∴DA=DB=a
又：DA=BA
∴三角形DAB是等边三角形
∴∠A=60°
∠ABC=180°-60°=120°

令AC、BD交于O
则AC⊥BD，OB=OD=BD/2=a/2
OA=OC=√(AB^2-OB^2)=√(a^2-(a/2)^2) = √3/2 a
AC=2OA=√3a

面积=1/2*AC*BD=1/2*a*√3a = √3/2 a^2

Answer 2

∵DE⊥AB E是AB中点
∴AD=BD
∵ABCD是菱形
∴AB=AD
∴AB=AD=BD=a
∴AC=2DE=2*1/2√3*a=√3a

菱形ABCD的面积=BD*AC/2=1/2√3a^2
E是AB的中点，且DE⊥AB
即DE是三角形DAB的高和中线
∴三角形DAB是等腰三角形
∴DA=DB=a
又：DA=BA
∴三角形DAB是等边三角形
∴∠A=60°
∠ABC=180°-60°=120°

令AC、BD交于O
则AC⊥BD，OB=OD=BD/2=a/2
OA=OC=√(AB^2-OB^2)=√(a^2-(a/2)^2) = √3/2 a
AC=2OA=√3a

面积=1/2*AC*BD=1/2*a*√3a = √3/2 a^2

Answer 3

∠ABC的度数=60 对角线AC的长=根号2

Answer 4

⑴连接DB,因为DE垂直平分AB,所以DB=DA,而四边形ABCD是菱形,DA=AB,所以DA=DB=AB,三角形DAB是等边三角形,∠ADB=60°,△BDC也是等边三角形,∠BDC=60°,∴∠ADC=120°,∴∠ABC=120°.
⑵在Rt△AOB中,AB=a,OB=1/2a由勾股定理,得AO=二分之根号3a,AC=根号3a
⑶菱形面积是两对角线乘积的二分之一,为1/2a×根号3a,等于1/2根号3a^2