Question

已知正四棱锥S-ABCD，SA=2根号3，则当该棱锥的体积最大时，它的高为——

Answer 1

设正四棱锥S-ABCD的高为h，正四棱锥S-ABCD底面为正方形，对角线垂直平分，对角线的一半=√(SA²-h²)=√(12-h²)，底面面积=2(12-h²)，该棱锥的体积V=2(12-h²)h/3，求导数得：V'=2(12-3h²)/3，当V'＞0时，12-3h²＞0，0＜h＜2，当V'＜0，h＞2，当V'=0，h=2时，该棱锥的体积最大，它的高为2.

Answer 2

设底正方形边长为2x,正四棱锥高为SH,H为底正方形对角线交点，
则对角线为2√2x,AH=√2x，
SH=√(SA^3-AH^2)=√(12-2x^2),
S正方形ABCD=4x^2,
VS-ABCD=[4x^2√(12-2x^2)]/3,
为求出函数极值，对函数求一阶导数，令其为0，求出驻点，
V'(x)=(8x/3)√(12-2x^2)+4x^2*(1/2)(12-2x^2)^(-1/2)(-4x)/3
=(8x/3)√(12-2x^2)-8x^3/√(12-2x^2)
=0,
x=±2，舍去负值，x=2,
当x<2时，V'(x)>0,而当x>2时，V'(x)<0,
故当x=2时有极大值，
底边长为4，AH=2√2，
高SH=√(12-8)=2。
当高为2时体积最大，为32/3。