Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1

（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A.B两点（A.B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标

Answer 1

（1）椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，则3+1=2a，a=2，3-1=2c，c=1，b²=4-1=3，椭圆C的标准方程：x²/4+y²/3=1；
（2）y=kx+m与椭圆C相交于A.B两点，解得：x1+x2=-8km/(3+4k²)，x1x2=(4m²-12)/(3+4k²)，(x1-x2)=48(4k²-m²+3)，y1+y2=6m/(3+4k²)，y1y2=(3m²-12k²)/(3+4k²)，(y1-y2)=48k²(4k²-m²+3)/(3+4k²)，AB²=48[4(k²)²+7k²-m²-m²k²+3]/(3+4k²)，AB中点到椭圆C的右顶点距离为AB的一半，则[4km/(3+4k²)+2]²+9m²/(3+4k²)²=12[4(k²)²+7k²-m²-m²k²+3]/(3+4k²)，4k²-16km+7m²=0，(2k-7m)(2k-m)=0，m=2k/7或m=2k，直线L：y=k(x+2/7)或y=k(x+2)，定点为(-2/7,0)或(-2,0)，∵点(-2,0)为椭圆C的左顶点，∴点(-2,0)舍去，直线L过定点(-2/7,0)。

Answer 2

第二个问 我算出来横过定点（2／7，0）

Answer 3

应该是7m^2+16mK+4k^2=0