Question

（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，

（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）A．2 B．1 C．8/3 D．4/3
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请问答案中的P1，P2必过重心是为什么。

Answer 1

建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（0+0+43，0+4+03），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足a+x2+y+02＝4y?0x?a?(?1)＝?1，解得x＝4y＝4?a，即P1（4，4-a），易得P关于y轴的对称点P2（-a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k=4?a?04?(?a)=4?a4+a，故直线QR的方程为y=4?a4+a（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（43，43），代入化简可得3a2-4a=0，解得a=43，或a=0（舍去），故P（43，0），故AP=43故选D