Question

已知抛物线y=ax2+bx+c过点(1,1)且在点(2,-1)处的切线方程为y=x-3求a,b,c的值

Answer 1

依题意：抛物线y=ax^2+bx+c过点(1,1)与点(2,-1)，且与直线y=x-3相切，
有 a+ b+c=1 ①
4a+2b+c=-1 ②
ax^2+bx+c=x-3有两等实数根，且根为x1=x2=2，
化简 ax^2+(b-1)x+c+3=0
x1+x2=-(b-1)/a=2+2 ③
x1×x2=(c+3)/a=2×2 ④
由③、④得4a=1-b=c+3 ⑤，
所以b+c=1-3=-2 代入①得：a-2=1，a=3
代入⑤得 ：12=1-b，b=-11，
12=c+3，c=9
所以a=3，b=-11，c=9

Answer 2

首先由过点(1,1)得a+b+c=1
对抛物线求导数，得到2ax+b，代入点(2,-1)的横坐标2，即得斜率k=4a+b
而k=1，所以4a+b=1
将y=x-3与y=ax2+bx+c联立，得到ax2+（b-1）x+c+3=0
因为只有一个交点，所以判别式=0，即(b-1)^2-4a(c+3)=0
所以将a+b+c=1，4a+b=1，(b-1)^2-4a(c+3)=0联立得到：
a=3（a=0舍），b=-11，c=9.

Answer 3

答：解：因为抛物线过点（1，1），所以a+b+c=1①
又y′=2ax+b，∴y′|x=2=4a+b，∴4a+b=1②
又抛物线过点(2，-1)∴4a+2b+c=-1③
由①②③解得a=3，b=-11，c=9