Question

已知函数f(x)=x-1/2axˆ2-ln(1+x),其中a∈R （1）求f（x）的单调区间。

（2）若f（x）在上[0，﹢∞﹚的最大值是0，求a的取值范围

Answer 1

复合函数求导学了没?文科生不做要求
这个应该会告诉你ln(1+x)的导数1/(1+x).
用导数做

Answer 2

一、 f(x)=x-1/2axˆ2-ln(1+x)，
f'(x)=1- ax - 1/（1+x) ，
f''(x)= - a + 1/（1+x) ˆ2 =1/（1+x) ˆ2 - a
当x=0 时，f'(x)=0 ，f''(x)= 1-a ≠0 ，
故f(x)在x=0有极值 ，极值f(0) = 0 ，
当f'(x）= 1- ax - 1/（1+x) >0 时，即（1+x)（1- ax ）> 1
求得：a<1/（1+x），x< (1-a ) / a 时，f(x) 是单调增，x 的区间是（-∞，0] ，
f(x) 的区间是（-∞，0]
同理当f'(x）= 1- ax - 1/（1+x)< 0 时，
求得：a>1/（1+x），x> (1-a ) / a 时 ，f(x) 是单调减，x 的区间是 [0 ，﹢∞﹚，
f(x) 的区间是[0 ，﹢∞﹚
二、因为f（x）在[0，﹢∞﹚上的最大值是0 ，故f(x) 是单调减，
因 f''(0)= 1- a < 0
求得：a的取值范围是 a > 1

Answer 3

理）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：f′(x)=
x(1-a-ax)x+1， x∈(-1，+∞)．
依题意，令f'（2）=0，解得 a=
13．
经检验，a=
13时，符合题意．…（4分）
（Ⅱ）解：①当a=0时，f′(x)=
xx+1．
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=0，或x2=
1a-1．
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：
x（-1，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）-0+0+f（x）↘f（x1）↗f（x2）↘所以，f（x）的单调增区间是(0，
1a-1)；单调减区间是（-1，0）和(
1a-1，+∞)．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）．
当a＞1时，-1＜x2＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：
x（-1，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+∞）f'（x）-0+0+f（x）↘f（x2）↗f（x1）↘所以，f（x）的单调增区间是(
1a-1，0)；单调减区间是(-1，
1a-1)和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是(0，
1a-1)，减区间是（-1，0）和(
1a-1，+∞)；
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是(
1a-1，0)；减区间是(-1，
1a-1)和（0，+∞）．
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(
1a-1)，
由f(
1a-1)＞f(0)=0，知不合题意．
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）

Answer 4

求导，带值，可得a值，令导函数=0，分类讨论

Answer 5

http://m.jyeoo.com/math2/ques/detail/f20d1a4d-9d8d-49a5-aaa5-a3574af03fc6