Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为根号2，且过点（4，-根号10）

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为根号2，且过点（4，-根号10）
1）求双曲线的标准方程
2）直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F1M⊥F2M

Answer 1

焦点在x轴上。e=c/a=√2，所以c=√2a
设双曲线为：x^2/a^2-y^2/(c^2-a^2)=1
x^2-y^2=a^2,把（4，-√10）代人方程
得：a^2=6，x^2-y^2=6；
（2）把x=3,代人双曲线：9-y^2=6，y=±√3;
c=√2a=2√3;
F1(-2√3,0);F2(2√3,0);M(3,√3);
所以：向量F1M=(3+2√3,√3);向量F2M=(3-2√3,√3);
(向量F1M)·(向量F2M)=(3+2√3)(3-2√3+3
=9-12+3=0
所以：F1M⊥F2M