Question

过点A（-2，-4）作倾斜角为45°的直线l交抛物线y＾2=2px（p＞0）于点P1、P2，若｜P1P2｜＾2=｜AP1｜等

过点A（-2，-4）作倾斜角为45°的直线l交抛物线y＾2=2px（p＞0）于点P1、P2，若｜P1P2｜＾2=｜AP1｜·｜AP2｜，求实数p的值。（要过程）

Answer 1

向量AP1*向量AP2=|AP1|×|AP2|×cos0°=|AP1|×|AP2|，设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，直线L：x－y－2=0，将直线L代入抛物线，得：(x－2)²=2px，即：x²－2(2＋p)x＋4=0，得：
【x1＋x2=2(2＋p)，x1x2=4】
|P1P2|=[√(1＋k²)]×|x1－x2|=√{2[4(2＋p)²－16]}=√(8p²＋32p)，即|P1P2|²=8p²＋32p；
而AP1=(x1＋2，y1＋4)=(x1＋2，x1＋2)，AP2=(x2＋2，y2＋4)=(x2＋2，x2＋2)，则：
|AP1|×|AP2|=(x1＋2)(x2＋2)＋(x1＋2)(x2＋2)=2(x1x2)＋4(x1＋x2)＋8=8p＋32
则：8p²＋32p=8p＋32
8p²＋24p－32=0
p²＋3p－4=0
p=1或p=－4【舍去】
则实数p的值是p=1

Answer 2

y+4=1(x+2)与y2=2px联立得x2-（4+2p）+4=0① |P1P2|=|AP1 ||AP2 | ②解得P=1／2