Question

高等代数求解！

若一元四次方称x^4-mx^3+nx^2+mx+1=0有实根，求m^2+n^2的最小值

Answer 1

记p(x)=x^4-mx^3+nx^2+mx+1，主要分三步，不过计算量非常大：
1. 证明m^2+n^2的最小值确实存在
2. m^2+n^2取最小值的时候x^4-mx^3+nx^2+mx+1的判别式必为0
3. 以判别式为0作为约束条件求m^2+n^2的最值

具体的做法：
1. 显然，当m=0, n<=-2的时候p(x)=x^4+n^2+1=0有实根，于是m^2+n^2如果存在最小值则必不超过4。
考察A={(m,n)|p(x)有实根且m^2+n^2<=4}，那么A是R^2的非空紧子集(需要用到多项式的根关于系数的连续性)，m^2+n^2作为连续函数在A上必存在最小值。
如果不知道根的连续性也可以取点列(mj,nj)使得mj^2+nj^2->inf(m^2+n^2)，取其收敛子列再验证p(x)的最小值收敛于0，从而min(m^2+n^2)存在。

2. 对于给定的m,n，p(x)在R上的最小值记为f(m,n)，那么p(x)有实根等价于f(m,n)<=0。
记m0,n0是m^2+n^2的最小值点，若f(m0,n0)<0，那么在(m0,n0)的邻域内f(m,n)<0，这样就存在0<t<1使得f(tm0,tn0)<0，和m0^2+n0^2的最小性矛盾，因此f(m0,n0)=0。
若p(x0)=0为p(x)的最小值，这意味着p'(x0)=0，即x0是p(x)的重根，于是p(x)的判别式为0。

3. 先把p(x)的判别式算出来，这步非常麻烦，要耐心算，最后可以算得
R(p,p')=(m^2-4n-8)^2*(4m^2+n^2-4n+4)=(m^2-4n-8)^2*[4m^2+(n-2)^2]
所以m^2-4n-8=0或者m=0,n=2，很明显后者对应的p没有实根应舍去。
然后在m^2-4n-8=0的约束下求m^2+n^2的最小值，用Lagrange乘子法定义
L(m,n,k)=m^2+n^2-K(m^2-4n-8)
求导解出K=2n, (1-K)m=0，最终得m=0,n=-2或者m^2=16,n=2，显然前者是最小值。