Question

设有关于x的一元二次方程x的平方+2ax+b的平方=0

(1)若a是,0，1,2,3，四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a是从区间【0,3】内任取的一个数，b是从区间【0,2】内任取的一个数，求上述方程有实根的概率。

Answer 1

分析：两问中的基本事件都是“取出一对实数a、b的值”，但第（1）问中的基本事件总数有限并且各基本事件之间是等可能的，属于古典概型；第（2）问中的基本事件总数无穷并且各基本事件之间是等可能的，属于几何概型.

解：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.

当a＞0，b＞0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的等价条件为Δ=4a2-4b2=4(a2-b2)≥0,即a≥b.

（1）基本事件共12个：（0,0）、（0,1）、（0,2）、（1,0）、（1,1）、（1,2）、（2,0）、（2,1）、（2,2）、（3,0）、（3,1）、（3,2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)=9/12=3/4.

（2）试验的所有基本事件所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，其中构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}.所以所求的概率为=(3×2-(1/2)×(2的平方))/(3×2)=2/3.