Question

已知抛物线y=-（4/9）x^2+bx+c与X轴相交于A.B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴相交于点D，AO=1

1.若线段BC的垂直平分线EF交AB于点E，交X轴于点F，求FC的长
2.探究在抛物线的对称轴上是否存在点p，使圆心p于X轴，直线BC都相切？若存在，请求出P坐标，不存在，请说理由

Answer 1

(1)解析：∵抛物线y=-4/9x^2+bx+c, 其对称轴为x=2
y=-4/9x^2+bx+c=-4/9(x-9b/8)^2+9b^2/16+c
∴9b/8=2==>b=16/9
y=-4/9x^2+16/9x+c
∵OA=1==>A(-1,0)==>AD=1+2=3
-4/9-16/9+c=0==>c=20/9
B(5,0)
(2)解析：∵y=-4/9x^2+16/9x+20/9=-4/9(x-2)^2+4
∴顶点C(2,4)==>BC中点(3.5,2)
BC斜率为-4/3
∴BC中垂线EF方程为：y-2=3/4(x-3.5)==>6x-8y-5=0
∴F(5/6,0)
|FC|=√[(2-5/6)^2+4^2]=25/6
(3)解析：在抛物线对称轴上肯定存在点P，即∠CBD平分线与中垂线交点P
Tan∠CBD=4/3
Tan∠CBD =2Tan(∠CBD/2)/[1-(Tan(∠CBD/2))^2]=4/3
解得Tan(∠CBD/2)=1/2
PD/BD=1/2==>PD=3/2
∴P(2,3/2)

追问

BC中垂线EF方程为：y-2=3/4(x-3.5)==>6x-8y-5=0 ?什么意思

追答

y-2=3/4(x-3.5)两边同乘以8化简可得6x-8y-5=0

追问

BC中垂线EF方程为什么=y-2=3/4(x-3.5）？

追答

有中点。。。
斜率为负倒数。。。
点斜式可得。。。

Answer 2

(1)解析：∵抛物线y=-4/9x^2+bx+c, 其对称轴为x=2
y=-4/9x^2+bx+c=-4/9(x-9b/8)^2+9b^2/16+c
∴9b/8=2==>b=16/9
y=-4/9x^2+16/9x+c
∵OA=1==>A(-1,0)==>AD=1+2=3
-4/9-16/9+c=0==>c=20/9
B(5,0)
(2)解析：∵y=-4/9x^2+16/9x+20/9=-4/9(x-2)^2+4
∴顶点C(2,4)==>BC中点(3.5,2)
BC斜率为-4/3
∴BC中垂线EF方程为：y-2=3/4(x-3.5)==>6x-8y-5=0
∴F(5/6,0)
|FC|=√[(2-5/6)^2+4^2]=25/6
(3)解析：在抛物线对称轴上肯定存在点P，即∠CBD平分线与中垂线交点P
Tan∠CBD=4/3
Tan∠CBD =2Tan(∠CBD/2)/[1-(Tan(∠CBD/2))^2]=4/3
解得Tan(∠CBD/2)=1/2
PD/BD=1/2==>PD=3/2
∴P(2,3/2)