Question

初四几何数学题目，题型中等腰梯形ABCD,AB=AD=CD=1/2BC,延长CD至E，DE=1，AF为BAE角分线AF=3,求AB长

要求步骤(两种情况)

Answer 1

【本题不完整,估计原题是:在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=CD=AB=1/2BC，点E为射线CD上一点，连接AE，做∠BAE的角平分线AF交射线BC于点F，若BF=3，DE=1，则线段AB的长.】

解:取BC的中点O,连接AO,DO,则OC=OB=BC/2=AD,又AD∥OC.

∴四边形AOCD为平行四边形;

又AD=CD,则四边形AOCD为菱形,AO=CD=AB=OB,即⊿ABO为等边三角形.

∴∠ABO=∠BAO=60°,∠BAD=∠CDA=120°.

①当点E在线段CD上时:延长CB到G,使BG=DE=1,连接AG.

∵BG=DE;AB=AD;∠ABG=∠ADE=120°.

∴⊿ABG≌⊿ADE(SAS),∠BAG=∠DAE.

又∠BAF=∠EAF,则:∠GAF=∠DAF=∠GFA,GA=GF=BG+BF=4.

作AH垂直BC于H,则∠BAH=30°,AB=2BH,设BH=X,AB=2X,AH=√(AB²-BH²)=√3X.

∵ AG²=AH²+GH²,即16=3X²+(1+X)².

∴X=(√61-1)/4(取正值),故AB=2X=(√61-1)/2.

②当点E在CD延长线上时:在BC上截取BM=DE=1,连接AM.

∵BM=DE,AB=AD,∠B=∠ADE=60°.

∴⊿BAM≌⊿DAE(SAS),∠BAM=∠DAE;

又∠BAF=∠EAF.则∠MAF=∠DAF=∠MFA,MA=MF=BF-BM=3-1=2.

作MH垂直AB于H,∠BMH=30°,则BH=BM/2=1/2,MH=√3/2.

∴AH=√(MA²-MH²)=√(4-3/4)=√13/2.故AD=AB=BH+AH=(1+√13)/2. 

(注:若只是点E在线段CD的延长线上,则答案只能为第二个答案了.)

Answer 2

4根号3