Question

若θ，a为锐角且tanθ=(sina-cosa)/(sina+cosa)，求证：sina-cosa=√2sinθ。

Answer 1

因为tanb=(sina-cosa)/(sina+cosa)，所以sinb/cosb=(sina-cosa)/(sina+cosa),
所以sinbsina+sinbcosa=sinacosb-cosacosb,所以
cosacosb+sinacosb=sinacosb-cosasinb,即sin(a-b)=cos(a-b),所以tan(a-b)=1,
所以a-b=兀/4+k兀,所以b=a-兀/4-k兀，
所以根号2sinb=(根号2)sin(a-兀/4-k兀)=(根号2)sin(a-兀/4)=
(根号2)[sinacos45-cosasin45]=sina-cosa,得证

Answer 2

解】由结果入手，sinα-cosα=（2sinθ）^1/2
平方得：
(sinα-cosα）^2=2sinθ
<==> 1-sin2α=2sinθ———（1）
<==> sin2α=1-2sinθ———（2）
tanθ=(sinα-cosα)/(sinα+cosα)
==> (tanθ)^2=(1-sin2α)/(1+sin2α)代入（1）（2）
==> (tanθ)^2=sinθ/(1-sinθ) 切化弦
==> sinθ/（cosθ）^2= 1/(1-sinθ)得到：
==>（sinθ）^2+（cosθ）^2=1 恒成立；