Question

定义域在R上的函数f(x)对一切实数x,y满足：f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)f(y),

已知f(x)在（－∞，0）上的值域是（1，+∞），则f(x)在R上的值域是？？？

Answer 1

f（x+y）=f(x)f(y)
令x=y=0,得f(0)=[f(0)]^2
因为f(0)≠0(根据f(x)≠0)
所以f(0)=1
令y=-x,当x∈(-∞,0)时-x∈(0,+∞)
所以有f(0)=1=f(x)*f(-x)
即f(-x)=1/f(x)
因为f(x)在(-∞，0)上的值域是（1，+∞）
所以得0<f(-x)<1
又因为f(0)=1
所以f（x）在R上的值域是(0 , +∞)