Question

已知双曲线c：x²／4－y²=1，P为双曲线上任意一点

1：求证：点P到双曲线c的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
2：设点A的坐标为（3,0），求丨PA丨的最小值

Answer 1

渐近线方程为y=±x/2，即x±2y=0，点P坐标为（m,n），且m²／4－n²=1，所以m²-4n²=4
所以P到两条直线的距离d1=|m+2n|/√5，d2=|m-2n|/√5
所以d1d2=|m²-4n²|/5=4/5，为一个常数。
|PA|²=(m-3)²+n²=(m-3)²+m²/4-1=5m²/4-6m+8=5/4(m-12/5)²-104/5
因为m≥2或m≤-2，所以最小值在-2或12/5时取得，因为m=12/5时，值为-104/5<0，故舍去
所以m=-2时，|PA|²=25，所以丨PA丨的最小值为5