Question

急 如图1，将边长为2的正方形纸片ABCD对折后展开，折痕为EF；再将点B翻折到EF上的点B’处，折痕为GC，

如图2所示；最后沿B'D对折，使A点翻折到A’点的位置，折痕为HD，如图3所示。
（1）试证明HA'平分∠GHD；
（2）试求图3中原来正方形纸片上没有被遮挡（即阴影）部分的面积。

Answer 1

(1)证明：CB'=CB=AD=DB'

∴△B'CD是等边三角形，∴∠CDH=60°

∠ADH=80-60=30°  ∴∠AHD=60°=∠A'HD   

 ∴∠GHA'=180-60-60=60°

∴HA'平分∠GHD

(2)解：

S△DTC=1/2•TC•DT=1/2•1•√(3)=√(3)/2

∠DA'H=∠A=RT∠    ∠HDA=∠HDA'=30°    ∴DA'⊥B'C

即∠B'TA'=RT∠    又∠GB'C=∠GBC=RT∠

∴UA'TB'是矩形。

∴HU⊥GB'  容易知△HGU≅△HB'R≅△HB'E

在RT△EGB'中：∠EGB'=90-60=30°

设BG=X =B'G  则EG=1-X   EG'=X/2

由勾股定理得：(X^2)=((1-X)^2)+((X/2)^2)

解得X=4-2√(3)

∴GE=1-(4-2√(3))=2√(3)-3

EB'=X/2=2-√(3)

∴S△GHU=S△EGB'/3=1/3•1/2•(2-√(3))•(2√(3)-3)=(12-7√(3))/6

∴S阴=(√(3)/2)+[(12-7√(3))/6]=(6-2√(3))/3