已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x
(请求详解)已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x.(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围(2)若x=-1/3是f(x)的极值点,求f(x)在...
(请求详解)已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x.
(1) 若f(x) 在区间 [1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围
(2)若x=-1/3是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值
(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点?若存在,请求出实数b的取值范围;若不存在,试说明理由 展开
(1) 若f(x) 在区间 [1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围
(2)若x=-1/3是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值
(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点?若存在,请求出实数b的取值范围;若不存在,试说明理由 展开
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解:(Ⅰ)由题意得f′(x)=3x²-2ax-3,
∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,
∴当x∈[1,+∞)时,恒有f′(x)≥0,
即3x²-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
由 △=4a²+36>0,a/3≤1且f′(1)=-2a≥0,
解得a≤0,
(Ⅱ)依题意得 fʹ(1/3)=0,1/3+2/3a-3=0
a=4
∴f(x)=x³-4x²-3x,
令f′(x)=3x²-8x-3=0,
解得 x1=-1/3,x2=3
而 f(1)=-6,f(3)=-1/8,f(-13)=-1/2,
故f(x)在区间[1,4]上的最大值是f(1)=-6.
(Ⅲ)若函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个不同的交点,
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根,
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一个实数根,则
方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根,
则 △=16+4(b+3)>0
-3-b≠0,
即b>-7且b≠-3,
故满足条件的b存在,其取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞).
∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,
∴当x∈[1,+∞)时,恒有f′(x)≥0,
即3x²-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
由 △=4a²+36>0,a/3≤1且f′(1)=-2a≥0,
解得a≤0,
(Ⅱ)依题意得 fʹ(1/3)=0,1/3+2/3a-3=0
a=4
∴f(x)=x³-4x²-3x,
令f′(x)=3x²-8x-3=0,
解得 x1=-1/3,x2=3
而 f(1)=-6,f(3)=-1/8,f(-13)=-1/2,
故f(x)在区间[1,4]上的最大值是f(1)=-6.
(Ⅲ)若函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个不同的交点,
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根,
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一个实数根,则
方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根,
则 △=16+4(b+3)>0
-3-b≠0,
即b>-7且b≠-3,
故满足条件的b存在,其取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞).
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