Question

已知函数f（x）=x^3-ax^2-3x

(1)若x=-1/3是f(x)的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值
(2)若f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

答：
（1）f(x)=x³-ax²-3x
求导得：f'(x)=3x²-2ax-3
再次求导得：f''(x)=6x-2a
x=-1/3是极值点，则：f'(-1/3)=0，f''(-1/3)≠0
所以：
3/9+2a/3-3=0
-6/3-2a≠0
解得：a=4
所以：f(x)=x³-4x²-3x，f'(x)=3x²-8x-3=(3x+1)(x-3)
当-1/3<=x<=3时，f'(x)<=0，f(x)是减函数；
当x<=-1/3或者x>=3时，f'(x)>=0，f(x)是增函数。
所以：在区间[1,a]=[1,4]上，f(x)先是减然后再是增。
f(1)=1-4-3=-6，f(4)=64-64-12=-12
所以：此区间上f(x)的最大值为-6.

（2）f(x)在x>=1时是增函数，f'(x)>=0，
所以：抛物线f'(x)=3x²-2ax-3右侧零点x2<=1
所以：对称轴x=2a/(2*3)=a/3<=1并且f'(1)>=0
所以：a<=3，f'(1)=3-2a-3>=0
解得：a<=0

Answer 2

1 导数y=3x^2-2ax-3
若x=-1/3是f(x)的极值点,则有导数=0

得a=4
导数y=3x^2-2ax-3=(3x+1)(x-3)
在x=3处取得极小值 f(3)=27-4*9-9=-18
f(1)=1-4-3=-6
f(4)=64-64-12=-12
所以f（x）在[1，a]上的最大值为f(1)=1-4-3=-6

2 导数y=3x^2-2ax-3
若f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，则有导数在区间［1，+∞）恒≥0
y=3x^2-2ax-3=3（x-a/3)^2-a^2/3-3
讨论
当a/3≥1时 -a^2/3-3小于0 导数y恒≥0不成立
当a/3＜1时 y=3x^2-2ax-3≥yIx=1 =-2a 故要求a≤0
实数a的取值范围为（-∞，0]。

Answer 3

(1)
f'(-1/3)=1/3+2a/3-3=0
a=4
所以f(x)=x^3-4x^2-3x
f'(x)=3x^2-8x-3
令f'(x)=0 x1=-1/3 x2=3
f(1)=1-4-3=-6
f(3)=27-36-9=-18
f(4)=64-64-12=-12
所以f(x)在[1,4]的最大值是6
(2)

f'(x)=3x^2-2ax-3
Δ=4a^2+36>0
所以
a/3<1
f'(1)=3-2a-3>0
解得a<0

Answer 4

解：（II）由题意得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
由 △=4a²+36＞0，a/3≤1且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0，
（I)依题意得 fʹ(1/3)=0，1/3+2/3a-3=0
a=4
∴f（x）=x³-4x²-3x，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
解得 x1=-1/3，x2=3
而 f(1)=-6，f(3)=-1/8，f(-13)=-1/2，
故f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．