Question

高二数学题立体几何中的向量方法3.2

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD,且PA＝AD＝DC＝½,AB＝1，M是PB得中点。
﹙1﹚求证：面PAD⊥面PCD
﹙2﹚求直线AC与PB所成角的余弦值
﹙3﹚求面AMC与面BMC所成二面角的大小

Answer 1

以A为圆心，建立直角空间坐标系
则A(0,0,0) D(1/2,0,0) P(0,0,1/2) C(1/2,1/2,0) B(0,1,0）M(0,1/2,1/4)
（1）因为<DAB=90度,PA垂直面ABCD
所以AB=(0,1,0)为面PAD的一个法向量
AD=（1/2,0,0)为面PCD的一个法向量
AB*AD=0
所以面PAD垂直于PCD
(2)AC=(1/2,1/2,0) PB=(0,1，-1/2)
COS<AC.AB>=(1/2*0+1/2*1+0*1/2)/sqr(1/2^2+1/2^2+0^2)*sqr(0^2+1^2+-1/2^2)=√5／5
(3)AM=(0,1/2,1/4)CM=(-1/2,0,1/4)BM=(0,-1/2,1/4)
则面AMC一个法向量为m=（1，-1,2）面BMC一个法向量为l=（1,1,2）
COS<m.l>

追问

那么它的二面角是多大呢

追答

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