Question

如图所示：AB是○O的直径，AC是弦，CD是○O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D

如图所示：AB是○O的直径，AC是弦，CD是○O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D
求证：（1）∠AOC=2∠ACD （2）AC²=AB*AD
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Answer 1

证明：
1、连接BC
∵AB是直径
∴∠ACB＝90
∴∠CAB+∠ABC＝90
∵OA＝OC
∴∠OCA＝∠CAB
∴∠OCA+∠ABC＝90
∵CD切圆O于C
∴∠OCD＝90
∴∠OCA+∠ACD＝90
∴∠ACD＝∠ABC
∵OA＝OB
∴∠ABC＝∠OCB
∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝2∠ABC
∴∠AOC＝2∠ACD
2、
∵AD⊥CD
∴∠ADC＝90
∴∠ADC＝∠ACB
∵∠ACD＝∠ABC
∴△ACD相似于△ABC
∴AC/AD＝AB/AC
∴AC²=AB*AD

Answer 2

分析：连接BC，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC与CD垂直，得到一对角互余，再由AB为圆O的直径，得到BC与CA垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到∠ACD=∠OCB，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，∠AOC为三角形BOC的外角，利用外角的性质及等量代换得到∠AOC=2∠OCB，等量代换即可得证．解答：证明：连接BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠ACD=∠OCB，
∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，
∵∠AOC为△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=2∠OCB，
则∠AOC=2∠ACD．点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．