Question

设Ω为曲面xy=z，平面x+y=1及z=0所围成的空间闭区域 求三重积分∫∫∫xydv

本题中先对z积分时积分限是0到xy，被积函数xy为什么不能写成z呢，这样zdz就是2分之z方，结果是2分之xy方，而直接用xydz的话就是xy的平方，差了一半，这是为什么？能不能从三重积分的意义角度解释一下，而不是只是说投影法就是这么算的。比如我将被积函数改成z的话，那是用xy代换z再积分还是直接对这个z积分呢

Answer 1

如图所示：

追答

重积分，曲面方程不可以直接代入被积函数中。这个技巧只有曲线积分和曲面积分形式时才可以运用。

追问

嗯嗯我知道正确答案是这么做的，可是我想不明白为什么被积函数xy不能用z去代换呢，这个的原理是什么？如果说被积函数是面密度的话，xy所指代的含义应该和z一样才对啊

追答

这个是不等式0≤z≤xy。注意是z≤xy。
可以直接代入的条件只是对z=xy时有效。
三重积分是一个体积，如果直接代入z=xy的话就会忽略了内部z<xy的部分，那不是体积。
但是曲面积分就不同，它只是对那个曲面有效，并不包括内部，所以可以直接代入。所以你可以发现即使曲面围成的空间不封闭的话也可以直接代入，但那个体积是不存在的。