Question

设A是圆柱面x^2+y^2=1与平面z=0,z=1所围成的有界闭区域,计算三重积分∫∫∫z^2dv

Answer 1

本题的整个边界曲面分为两部分，记锥面z1=√X^2+Y^2为s1，平面z2=1为s2，
s1与s2在xoy坐标面的投影都是圆域X^2+Y^2≤1，记为D，
则用计算公式，这个曲面积分化成二重积分来计算如下:
∫s∫(X^2+Y^2)ds=∫s1∫(X^2+Y^2)ds+∫s2∫(X^2+Y^2)ds=
=∫D∫(X^2+Y^2)√1+(Эz1/Эx)^2+(Эz1/Эy)^2dxdy+∫D∫(X^2+Y^2)√1+(Эz2/Эx)^2+(Эz2/Эy)^2dxdy
计算出√1+(Эz1/Эx)^2+(Эz1/Эy)^2=√2，√1+(Эz2/Эx)^2+(Эz2/Эy)^2=1，
则原式=√2∫D∫(X^2+Y^2)dxdy+∫D∫(X^2+Y^2)dxdy=
=√2∫(0到2Π)dθ∫(0到1)r r rdr+∫(0到2Π)dθ∫(0到1)r r rdr=(1+√2)Π/2。