已知正方形ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中点,F为CC1的中点 求证:A1O垂直平面BDF 15
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连AO、OF、BD，设棱长为2
∵A'A⊥面ABCD，BD∈面ABCD
∴A'A⊥BD
∵O为正方形ABCD中心
∴BD⊥AO
∴BD⊥面A'AO
∴BD⊥A'O
又A'O=√6,OF=√3,AF=3
∴A'O²+OF²=AF²
∴A'O⊥OF
又BD∩OF=面BDF
∴A'O⊥面BDF
∵A'A⊥面ABCD，BD∈面ABCD
∴A'A⊥BD
∵O为正方形ABCD中心
∴BD⊥AO
∴BD⊥面A'AO
∴BD⊥A'O
又A'O=√6,OF=√3,AF=3
∴A'O²+OF²=AF²
∴A'O⊥OF
又BD∩OF=面BDF
∴A'O⊥面BDF
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