Question

幂级数问题

书上一道幂级数的例题如附图其中用到了另一个例题的结论：幂级数∑（∞,n=1)1/n(x^n)的和函数s(x)=-ln(1-x), x(-1,+1)本例的结果是分段函数,当x=0，s(x)=1, 即s(0)=1而s(0)=∑（∞,n=0)=1/（n+1）(0^n)，其第一项是0^0初中书上就讲过了0^0是没有意义的，例题为什么说是1呢？谢谢专业人士的帮忙！

Answer 1

R=lim(x→0)|an/an+1|=lim(x→0)(n+2)/(n+1)=1 对于x=1,级数是莱布尼茨级数,收敛对于x=-1,级数是调和级数,发散 ∴收敛域为(-1,1] 设和函数为f(x)=∑(n=1→∞)(-x)^n/(n+1) 那么-xf(x)=∑(n=1→∞)(-x)^(n+1)/(n+1) 求导,得[-xf(x)]'=∑(n=1→∞)(-x)^n=1/(1+x)-1 在[0,x]上积分,得-xf(x)=ln(1+x)-x ∴f(x)=1-ln(1+x)/x