Question

急！！！一道高一数学题

已知f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+2cos平方x+a,当x∈【-π/4，π/4】时，f(x)的最小值为-3，求实数a的值。
详细过程，（本人基础有点差）。。。

Answer 1

解：f(x) = sin(2x+π/6) + sin(2x-π/6) + 2cos^x + a
= sin2x*cosπ/6 + cos2x*sinπ/6 + sin2x*cosπ/6 - cos2x*sinπ/6 + cos2x + 1 + a
= （√3/2）sin2x + （√3/2）sin2x + cos2x + 1 + a
= √3sin2x + cos2x + 1 + a
= 2sin（2x+π/6） + 1 + a
设 t = 2x+π/6
x∈【-π/4，π/4】时
t∈【-π/3，2π/3】
t = -π/3时取到最小值为-3
此时2sint = -√3
则 -√3 + 1 + a = -3
解得 a = √3 - 4

追问

请问
= √3sin2x + cos2x + 1 + a
= 2sin（2x+π/6） + 1 + a
这两步是怎样转换的？

追答

提取一个“2”得：
= 2*（√3/2*sin2x + 1/2*cos2x） + 1 + a
= 2*（sin2xcosπ/6 + sin2xcosπ/6） + 1 + a
= 2sin（2x+π/6） + 1 + a

Answer 2

公式sin（x+y)=sinxcosy+cosxsiny
cos2x=2cos^x-1
f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+2cos^x+a
=sin2x*cosπ/6+cos2x*sinπ/6+cos2x+1+a
=√3/2*sin2x+3/2*cos2x+a+1
=√3(1/2*sin2x+√3/2*cos2x)+a+1
=√3(sin2x*cosπ/3+cos2x*sinπ/3)+a+1
=√3sin(2x+π/3)+a+1
当x∈【-π/4，π/4】时2x+π/3∈[-π/6,5/6*π]
sin(2x+π/3)的最大值为1
最小值为-1/2,此时x=-π/4
f(x)也有最小值=-√3/2+a+1=-3
a=-4+√3/2

追问

貌似sin(2x-π/6)给算掉了

Answer 3

a=-6

追问

谢谢，过程。。。

追答

用到大学的知识，求导数，通过导数为0算出极值算出x=π/6的时候有最小值，你带进去就可以算出a=-6