在三角形abc所在平面内求一点p使ap的平方加上bp的平方加上cp的平方最小
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设G为abc的中心，则 向量GA+向量GB+向量GC=0
考虑任意点P，则
PA²+PB²+PC²=(向量PG+向量GA)²+(向量PG+向量GB)²+(向量PG+向量GC)²
=向量GA²+向量GB²+向量GC²+3向量PG²+2向量PG*(向量GA+向量GB+向量GC)
=向量GA²+向量GB²+向量GC²+3向量PG²
≥向量GA²+向量GB²+向量GC²
所以G即为所求点。
显然，本题可推广到一般欧氏空间中任意n点的情形。
考虑任意点P，则
PA²+PB²+PC²=(向量PG+向量GA)²+(向量PG+向量GB)²+(向量PG+向量GC)²
=向量GA²+向量GB²+向量GC²+3向量PG²+2向量PG*(向量GA+向量GB+向量GC)
=向量GA²+向量GB²+向量GC²+3向量PG²
≥向量GA²+向量GB²+向量GC²
所以G即为所求点。
显然，本题可推广到一般欧氏空间中任意n点的情形。
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