Question

请问这道数学分析题该怎么做

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且满足2𝑏−𝑎𝑎+𝑏∫𝑎 2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑏)，证明：存在η ∈ (a, b),使得𝑓′(𝜂) = 0.（提示：积分第一中值定理）

Answer 1

一说证明任意阶导数，首先想到的是归纳法，这肯定是一个步骤。你要从一阶二阶慢慢证明，证明导数存在，就是在开区间内比值极限左右导数存在且相等，然后再用归纳法。这个题和函数这个样子你是求不出解析式来的，所以你要用Σ(-1)^n/n^x去代表和函数。记住，求导数的点只能是内点，或者你证明可微也是一样的！其实这个级数的项是指数函数，所以你还得证明指数函数在（0，∞）续的。