Question

设函数y=kx²+(2k+1)x+1(k为实数)

（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；
（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
（3）对任意负实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．
主要是第三问，为什么k＜0 y=kx²+（2k+1）+1的图像就在对称轴x=-（2k+1）/2k左侧？y=kx²+(2k+1)x+1的对称轴不就是x=-（2k+1）/2k吗？这不是很矛盾吗？

Answer 1

解：（1）y=x+1，图像略
（2）图像恒过点（0,1）
证明：令x=0， 得：y=1
故该函数图像恒过点（0,1）
（3）由于k<0，所以该函数图像为抛物线，对称轴为直线x=-（2k+1）/2k，如提问者所说。
因为2k+1>2k， 所以 -（2k+1）/2k<-1，而k<0，所以该函数图象在其对称轴左边的部分满足y随着x的增大而增大，因此有m>= -（2k+1）/2k，又已证 -（2k+1）/2k恒小于-1，故m>=-1，
任意一个大于等于-1的实数均符合m值的要求，例如-1

回答提问者的疑惑，这并不矛盾，k<0在这里的作用主要是说明y随着x的增大而增大的部分是抛物线对称轴左侧，而这种恒成立问题，只要求出某些最值，问题就迎刃而解了。

Answer 2

解答：解：（1）如两个函数为y=x+1，y=x2+3x+1，
函数图形如图所示；
（2）不论k取何值，函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象必过定点（0，1），（-2，-1），
且与x轴至少有1个交点．证明如下：
将X=0时代入函数中解出Y=1，X=-2时代入函数中解出Y=-1．
所以函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）．
又因为当k=0时，函数y=x+1的图象与x轴有一个交点；
当k≠0时，∵△=（2k+1）2-4k=4k2+1＞0，所以函数图象与x轴有两个交点．
所以函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象与x轴至少有1个交点．

（3）只要写出m≤-1的数都可以．
∵k＜0，∴函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象在对称轴直线x=- 的左侧，y随x的增大而增大．
根据题意，得m≤- ，而当k＜0时，- =-1- ＞-1，
所以m≤-1．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、二次函数的增减性等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．