Question

已知函数f(x)=根号2asin(x-π/4)+a+b

1)当a=1时，求函数f(x)的单调递减区间
2）当s<0时，f(x)在[0,π]上的值域为[2,3],求a,b的值

Answer 1

(1) sinx的单调递减区间为[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]
sin(x-π/4)的单调递减区间为[2kπ+π/2+π/4,2kπ+3π/2+π/4]即[2kπ+3π/4,2kπ+7π/4],(k为任意常数)
于是当a=1时，f(x)=根号2 sin(x-π/4)+1+b的单调递减区间为
[2kπ+3π/4,2kπ+7π/4],(k为任意常数)

(2) 当x∈[0,π]时，则x-π/4∈[-π/4,3π/4]， 于是sin(x-π/4)∈[-√2 /2,1]
那么当a<0时，(√2)asin(x-π/4)∈[(√2)a, -a]
(√2)asin(x-π/4)+a+b∈[(√2)a+a+b, b]
由题设 当a<0时f(x)在[0,π]上的值域为[2,3]，得(√2)a+a+b=2 且b=3
解得 a=1-√2,　b=3

Answer 2

解：1) 当a=1时，f'(x)=√2cos(x-π/4). 付于x的特定值，判断f'(x)值在f'(x)=0左右的变化，以便确定函数f(x)的单调递减区间。
f'(x)=0, x=3π/4.
x = π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
x- π/4 = 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4
√2cos(x-π/4) = √2 (+) 1(+) 0 -1(-) -√2(-) -1(-) 0 1
由上表可见 x∈(3π/4, 7π/4),函数f(x)单调递减。
另外，由f'(x)<0,也可以求出函数的递减区间：
∵ f'(x)<0, 即cos(x-π/4)<0,则 π/2<X-π/4<3π/2，
π/2+π/4<X<3π/2+π/4.
∴ 3π/4<x<7π/4. -----函数f(x)在此区间内是单调递减的。

2)当s<0, s是什么？
∵f(x)=√2asin(x-π/4) 对于x∈R都有意义，∴在确定的定义域[0,π]和值域[2,3]下，可以求出a和b：
x=0时，f(0)=√2asin(-π/4)+a+b=2
-a+a+b=2.
b=2.
x=π时，f(π)=√2asin(π-π/4)+a+b=√2asin(π/4)+a+b=3.
a+a+b=3.
2a+2=3.
a=1/2.
∴a=1/2；
b=2. ----即为所求。