Question

对函数f(x)在（－∞，＋∞）上满足f（2-x）=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0

试求方程f(x)=0在[-2008,2008]上根的个数

Answer 1

函数f(x)在（－∞，＋∞）上满足f（2-x）=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)
函数既关于x=2对称又关于x=7对称
在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0
简略画下图，可知[-3,7]内，只有f(1)=f(3)=0
函数周期为10
方程f(x)=0在[-2008,2008]上根的个数
f(1)=f(11)=f(21)=...=f(2001) 201个根
f(3)=f(13)=f(23)=...=f(2003) 201个根
f(1)=f(-9)
f(-9)=f(-19)=...=f(-1999) 200个根
f(-7)=f(-17)=...=f(-2007) 201个根
201+201+200+201=803个根

追问

函数既关于x=2对称又关于x=7对称??????

追答

f（2-x）=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)
函数既关于直线x=2对称又关于直线x=7对称

追问

不是f(x+2)=f(x-2)时，才关于x=2对称么？？？？？？？

追答

你记错了，f（2-x）=f(2+x),，x=1代入，f(1)=f(3)
f(x+2)=f(x-2),x=1代入，f(3)=f(-1)
f(x+2)=f(x-2),f(x-2+2)=f(x-2-2)
f(x)=f(x-4)周期为4

追问

谢谢