Question

已知定义域在R上的函数F[X]满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时，f（x）大于0 1。判断奇偶性，证明

2.解不等式f（a-4）+f（2a+1）小于0

Answer 1

（1）令x=y=0，
由f（x+y）=f（x）+f（y）
f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
令y=-x，
f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）在x∈R上是奇函数。
（2）由x＞0，得f（x）＞0，
∴f（x）＞f（0）。
由奇函数在R上单调递增，
f（a-4)+f(2a+1)＜0,
-f(4-a)+f(2a+1)＜0,
∴f(2a+1)＜f(4-a)
由函数值小的自变量小，
∴2a+1＜4-a，
3a＜3，
得a＜1.

Answer 2

(1)：令x=y=0，则有f(0)=2f(0) =>f(0)=0，在令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)=0
=>f(-x)=-f(x),所以函数F[X]为奇函数；
(2)：由（1）知道f（2）=2f（1）=>f(4)=2f(2)=4f(1)
所以不等式 f(a-4)+f(2a+1)<0 =>f(a)+f(-4)+f(2a)+f(1)<0
=>3f(a)-f(4)+f(1)<0 =>3f(a)-3f(1)<0 =>f(1)-f(a)>0 => f(1-a)>0
=>1-a>0 =>a<1