Question

已知椭圆C的焦点F1（-2倍根号2，0）和F2（2倍根号2，0）长轴长6，设直线y=x+2交椭圆C于A B两点

求线段AB的中点坐标及弦长。

Answer 1

c=2√2，a=3,b=1,
椭圆方程：x^2/9+y^2=1
把直线y=x+2代入椭圆，得：
x^2+9(x+2)^2-9=0,
10x^2+36x-27=0
设交点为：A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=d
AB的中点为D(m,n)
则：x1+x2=-36/10=-18/5, x1x2=-27/10
y1+y2=x1+x2+4, y1-y2=x1-x2.
d=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=(√2)√(x1-x2)^2
=(√2)√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=(√2)√[(-18/5)^2-4(-27/10)]
=(6/5)√33
m=(x1+x2)/2=-18/10=-9/5
n=(y1+y2)/2=(x1+x2+4)/2=2+(x1+x2)/2=1/5
所以，AB中点的坐标D(-9/5,1/5)
弦长:d=(6/5)√33.

Answer 2

由条件可得该椭圆c=2根号2
2a=6
得方程为x^2+9y^2=9
将直线方程带入，化简得10x^2+36x+27=0
AB中点坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
根据伟达定理x1x2=2.7,,,x1+x2=-3.6
y1+y2=x1+x2+4=0.4
所以坐标（-1.8.0.2）