Question

【初三数学题。】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE‖DQ交AQ于E，作PF‖AQ交DQ于F.

（1）求证：△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求

当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？

（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？

要过程 ，详细点 ，

回答得好会加分的。

Answer 1

（1）相似三角形的判定条件是：三个角相等。
△APE的∠PAE=△ADQ的∠DAQ（就是同一个角），1个角相等了
因为PE‖DQ，所以∠EPA=∠QDA，（两条平行线相交的同位角）2个角想等了
因为PE‖DQ，所以∠AEP=∠AQD，3个角想等了
3个角相等，所以两个三角形相似。

（2）这个里面你必须把Q固定，不然这个问题里面就有两个变量而不是一个变量了，这和题目并不矛盾，因为题目上说P是动点，而Q不是动点，只是任意一点。我们假设AP=x，那么：AP/AD=x/3，因为APE和ADQ相似，所以PE/DQ=x/3，DQ长可以求出来，则PE=DQ*x/3。
同理，PF=AQ*x/3。
这样你就有了△PEF的两条边长。
下一步，因为PE‖DQ，PF‖AQ，所以∠EPA=∠QDA，∠FPA=180-∠FPD=180-∠QAD。
∠EPF=∠APF-∠EPA=180-∠AQB-∠DQC=∠AQD（中间多次用同位角和内错角）
∠AQB和∠DQC会求吧....这样∠AQD就出来了。
这样，你就知道了∠EPF的大小，还有PF，PE两条边的长度。
面积S=PE*PF*sin∠EPF/2=DQ*AQ*x*x/9*sin∠EPF

（3）Q在中点处时，△ADQ的周长最小。
因为假设BQ=x，那么QC=3-x。
周长=3+AD+QD=3+（4+x2)^0.5+(4+(3-x)^2)^0.5 (勾股定理)
化简后，周长=
啊....突然想起来，你是初三的，你不会求导数！
晕死....我投降了，不写了....累死了....

追问

sin是什么啊。。。。第二问的sin这里也不知道，没有学唉。 有没有更简单 易懂 适合初三学生的方法呢...？ 谢谢你这么用心的回答。O(∩_∩)O~ 如果可以，请继续帮帮我想想这一题。。。^_^

追答

好吧，三角函数也是高中才学的东西...我又忘了....你看我元宵节这么悲催....一个人坐办公室给你来解初中数学题....
（2）那就不用三角函数了，初中数学，三角函数能做的用勾股定理都能做。回到我的解答（2）中的倒数第2行。你知道了一个三角形的两条边长，还有它们的夹角。在这一题中，也就是PE长，PF长和∠EPF的大小。我就不上图了，你自己跟着我说的做辅助线：过F点，向PE做垂线，交PE与K点。那就有一个方程组：
PK+EK=PE=DQ*x/3（DQ是已知的哦，记住~） （1）
(PF^2-PK^2)^0.5=(EF^2-EK^2)^0.5=FK (2)
在这个方程组里，只有PK和EK是未知量，两个方程组解两个未知量，没有任何问题的。（不要去看那个FK，FK就是为了说明前面两个式子为什么相等---勾股定理）当然，化简需要一些时间，很麻烦。但是同学，我们都是这么熬过来的嘛....
你知道了PK和EK之后，就可以很方便的用（2）式求出来FK，FK就是三角形的高啊，然后用FK*PE/2就是三角形的面积了。
对于这一问，我觉得其实还有更简单的方法。因为初中数学搞很多技巧神马的....但是我想不起来了。

（3）我又想了想，可以这样做，周长最短，AD又是固定的，不就是要求AQ+DQ的和最短么？
你做辅助线：延长AB至P，让BP=AB，连接PQ，这样，。然后再连接DP。这时候，QDP是一个钝角三角形。三角形△ABQ和△BPQ是全等的（自己证明，这个不会证就太说不过去了），那么AQ=PQ，这样，想求AQ+DQ最短，就变成了求PQ+DQ最短。
什么时候DQ+PQ最短呢，当然是Q在BC中点上的时候！因为如果Q不在BC的中点上，PQD三点就不在一条直线上，在△PQD中，DQ+PQ肯定大于第三边PD的长度，只有当Q在中点的时候，DQ+PQ才能等于PD=2.5（PD的长度是固定的，等于2.5）
啊，我自己被自己的证明感动了....好多年没有做这种“技巧性题目了”....