Question

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE。

且AD垂直AC，AE垂直AB，连接DE，交AB于点F，试探究线段FB、FA之间的数量关系。
小明是这样思考的：如图14，当∠BAC=45°时，作EG⊥AC交AB于点G，则FA=FG
小颖是这样思考的：如图15，当∠BAC=30°是，做DG∥AE交AB于点G，则FA=FG
（1）小明、小颖的判断正确吗？请说明理由。
（2）请选择一下2个图的一个探究线段FB，FA的数量关系，并说明理由

Answer 1

(1)◆小明的判断"FA=FG"正确.(见左图)

证明:∵∠BAC=45°,AD⊥AC,AE⊥AB.

∴∠DAB=∠EAC=45°;又DA=DB,EA=EC.

∴⊿AEC和⊿ADB为等腰直角三角形,四边形ACBD为正方形.

连接CD,交AB于O,则OD=AB/2=AO=(√2/2)AD;又AE=EC=(√2/2)AC=(√2/2)AD.

∴OD=AE;又∠EAF=∠DOF=90°;∠AFE=∠OFD.

∴⊿AEF≌⊿ODF(AAS),AF=OF;

又EA=EC,EG⊥AC,得AG=CG.

∴GF∥CO,∠GFA=∠COA=90°;又∠GAF=45°,故FA=FG.

◆小颖的判断"FA=FG"也正确.(见右图)

证明:∵∠BAC=30°;EA⊥AB,AD⊥AC.

∴∠EAC=∠DAB=60° ;又EA=EC,DA=DB.

∴⊿AEC和⊿DAB均为等边三角形,AD=AB.

又DG平行AE,则∠DGA=∠EAG=90°=∠ACB;

又∠DAG=∠ABC=60°.故⊿DAG≌⊿ABC(AAS),DG=AC=AE;

∵DG=AE;∠DGF=∠EAF=90°;∠DFG=∠EFA.

∴⊿DGF≌⊿EAF(AAS),得FA=FG. 

(2)解:①(左图中)OF=FA(已证);

又∵DA=DB;DO⊥AB.

∴OB=OA.可得:FB=3FA;

②(右图中)FA=FG;(已证)

又∵DA=DB;DG⊥AB.

∴GB=GA,同样可得:FB=3FA.

Answer 2

(1)◆小明的判断"FA=FG"正确.(见左图)
证明:∵∠BAC=45°,AD⊥AC,AE⊥AB.
∴∠DAB=∠EAC=45°;又DA=DB,EA=EC.
∴⊿AEC和⊿ADB为等腰直角三角形,四边形ACBD为正方形.
连接CD,交AB于O,则OD=AB/2=AO=(√2/2)AD;又AE=EC=(√2/2)AC=(√2/2)AD.
∴OD=AE;又∠EAF=∠DOF=90°;∠AFE=∠OFD.
∴⊿AEF≌⊿ODF(AAS),AF=OF;
又EA=EC,EG⊥AC,得AG=CG.
∴GF∥CO,∠GFA=∠COA=90°;又∠GAF=45°,故FA=FG.
◆小颖的判断"FA=FG"也正确.(见右图)
证明:∵∠BAC=30°;EA⊥AB,AD⊥AC.
∴∠EAC=∠DAB=60° ;又EA=EC,DA=DB.
∴⊿AEC和⊿DAB均为等边三角形,AD=AB.
又DG平行AE,则∠DGA=∠EAG=90°=∠ACB;
又∠DAG=∠ABC=60°.故⊿DAG≌⊿ABC(AAS),DG=AC=AE;
∵DG=AE;∠DGF=∠EAF=90°;∠DFG=∠EFA.
∴⊿DGF≌⊿EAF(AAS),得FA=FG.
(2)解:①(左图中)OF=FA(已证);
又∵DA=DB;DO⊥AB.
∴OB=OA.可得:FB=3FA;
②(右图中)FA=FG;(已证)
又∵DA=DB;DG⊥AB.
∴GB=GA,同样可得:FB=3FA.或者小明的思考
当∠BAC=45°时，由于∠DAC=90°，所以角∠BAD=45°，三角形BAD为等腰直角三角形，即ADBC为正方形。
同理可知三角形AEC为等腰直角三角形。易知AECO为正方形。在此正方形中，易知G为AC中点
连接CD，交AB于O点，OC＝OC。
在三角形DCE中，O为CD中点，EC//OA，所以F为OA中点。
易知AFG为等腰直角三角形，FA=FG
小明判断正确

小颖的思考：
∠BAC=30°时，∠BAC=30°，易知∠BAD=60°，∠EAC=60°，三角形ABD、EAC为等边三角形。
在直角三角形ABC中，AB＝根号3倍的AC
在等边三角形ABD中，DG＝2分之根号3倍的AB，所以DG＝3/2AC
由于AE垂直于AB，DG垂直于AB，AE//DG，易知三角形AEF与三角形GDF相似，
FG:FA=DG:EA＝DG:AC＝3：2
小颖判断不正确。

当∠BAC=45°时，FA=1/2AO=1/4AB，所以FA:FB＝1：3
当∠BAC=30°时，FA:FG=2:3，则FA=2/5AG＝1/5AB，所以FA:FB=1:4

Answer 3

证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90度．
∵DA=DB，∠ADB=60度．
∴AG=BG，△DBA是等边三角形．
∴DB=BA．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴△DBG≌△BAC．
∴DG=BC．
∵BE=EC，∠BEC=60°，
∴△EBC是等边三角形．
∴BC=BE，∠CBE=60度．
∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，
∴△DFG≌△EFB．
∴DF=EF．

Answer 4

bzd

Answer 5

？