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第一种算法之所以是错的有几个方面，首先第一个等式里面的被积函数你分子分母同除以cosx，这个不一定有意义，因为cospi/2=0。其次你第二个等式用了微积分第一基本定理，这个要求被积函数在积分区间里连续的，但是你这个被积函数sec^2x/(1+sec^2x)在pi/2处是不连续，也是因为1/cospi/2趋于无穷了。所以最根本是你一开始不能分子分母同除以cosx。
但是第二种算法里面却可以是因为pi/2变成了端点，（0，pi/2）这个区间上就不存在以上的问题。
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第一种算法错了，[0,π]中含有间断点π/2，所以必须把积分区间拆开来算。
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