Question

已知定义域为0到正无穷的函数f(X)满足；对任意的X属于0到正无穷恒有f(2X)=2f(X）成立，当X属于

（1,2]时，f（X)=2-x给出以下结论 （1 ）对任意的m属于Z有f（2^m)=0; （2） 函数f(X) 的值域为[0,正无穷] （3) 存在n属于Z，使得f(2^n+1)=9 ( 4) 函数f(X)在区间（a，b)上单调递减的充要条件是存在k属于z使得(a,b)属于（2^k,2^k+1）
下列结论正确的序号是

Answer 1

解：①f（2m）=f（2•2m-1）=2f（2m-1）=…=2m-1f（2）=0，正确；
②取x∈（2m，2m+1），则2m∈（1，2]；f（2m）=2-2m，从而f（x）=2f（2）=…=2mf（2m）=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…
从而f（x）∈[0，+∞），正确；
③由②得f（x）=2m+1-x，令x=2n+1，则有f（2n+1）=2m+1-2n-1，
假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，2x1-2x2=10，
又2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；
④根据前面的f（x）=2m+1-x，x位于（a b）时，故f（x）是递减的，容易知道该选项正确；
综合有正确的序号是①②④．
故答案为①②④．

Answer 2

(1)f(2^m)=2f(2^(m-1))=...=2^(m-1)f(2)=0

Answer 3

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